2024年8月12日至13日，由山西大学科学技术哲学研究中心与中国自然辩证法研究会数学哲学专业委员会联合主办，红足1—世足球网、中山大学《逻辑学研究》编辑部和山西大学《山西大学学报(哲社版)》编辑部协办的“2024年数学哲学国际学术研讨会”在山西大学隆重举行。

本次会议汇聚了来自国内外的数学哲学领域的专家学者，共同探讨数学哲学的前沿问题。来自北京大学、复旦大学、中国人民大学、南开大学、中山大学、浙江大学、山西大学、英国伦敦大学、新加坡国立大学、印度中央理工学院、美国加州大学、迈阿密大学、卡内基梅隆大学等高校的80余名专家学者参加了会议。本次会议共设有7场大会主题报告和16场分主题报告，涵盖集合论、计算性理论、类型论、数学基础等多个方面。

会议开幕式由会议程序委员会主席、复旦大学红足1—世足球网副教授杨睿之主持。红足1—世足球网院长尤洋教授、红足1—世足球网逻辑与智能科学研究院院长周北海教授、北京大学哲学系宗教学系邢滔滔教授先后致辞。尤洋教授在致辞中热烈欢迎各位参会学者，并介绍了山西大学科学技术哲学研究中心、红足1—世足球网的发展历程及本次会议的组织情况。周北海教授强调了数学哲学在当代学术研究中的重要地位，并对与会专家的参与表示感谢。邢滔滔教授则回顾了数学哲学研究的重要性，表达了对本次会议的期待。

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8月12日上午的第一场大会报告由北京师范大学的陈龙老师主持，主讲人为山西大学科学技术哲学研究中心的高坤老师。报告主题是“王浩的实质事实主义思想及其在数学哲学中的应用”。

在这场报告中，高坤详细探讨了王浩的实质事实主义思想及其在数学哲学中的应用。高坤介绍了实质事实主义作为王浩哲学的核心方法论原则，强调哲学家应尊重已有知识的实质内容，而非仅关注技术性细节。该方法论与20世纪70年代以来分析哲学中的自然主义有一定相似性，但王浩从中发展出了独特的“知识学”研究纲领，与自然主义者的哲学自然化主张存在显著差异。

报告中还详细分析了王浩对数学概念的精细剖析，特别是集合概念的深入研究。王浩在数学哲学中的贡献不仅体现在其理论的独特性，还展示了他如何通过概念主义和实在论的融合，为数学哲学提供新的视角。

8月12日上午的第二场大会报告同样由北京师范大学的陈龙老师主持，主讲人为新加坡国立大学哲学系的Neil Barton老师。报告主题是“Engineering set-theoretic concepts”。

在这场报告中，Barton探讨了集合论中的概念工程问题，提出我们正面临着集合迭代概念的关键路口。他指出，集合论的概念工程自其成为主流数学研究领域以来便存在，集合论的迭代概念是对初始集合概念不一致性的回应。然而，尽管迭代概念本身是一致的，它在描述无限集合的性质方面依然存在不足。

Barton进一步解释了现代集合论向极大化的迭代概念的转变过程，并指出这一概念在某些方面表现出不一致性。他建议未来的讨论应更多关注不同概念的相对理论优点，而不是陷入难以解决的本体论争议中。

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8月12日上午的分主题报告分为两个分会场，每个分会场分别进行两场学术报告。在本场研讨会的分主题报告中，学者们就逻辑后承语义、感知与指称的区分、知识论与多元论等主题展开了深入探讨。

第一会场由吉林大学的康孝军副教授主持，本场的两位报告人分别是山西大学的李伟同学和浙江大学的郭华钰同学。

李伟的报告题为“对逻辑后承语义定义的辩护”。在报告中，李伟基于谢尔的逻辑后承理论，对埃切门迪对塔斯基逻辑后承语义定义的批评进行了反驳。埃切门迪质疑塔斯基定义中的模型是否能保证逻辑后承的必然性和形式性，以及逻辑常项划分标准的合理性。谢尔则通过逻辑常项的同构不变性标准，将逻辑常项的形式性与必然性结合起来，解决了逻辑后承定义中的这些挑战，最终为逻辑后承的语义定义提供了一个更加完善的理论框架。

随后，郭华钰进行了题为“Martin-Löf’s Distinction between Sense and Reference”的报告。郭华钰在报告中探讨了Martin-Löf在感知(Sense)与指称(Reference)之间的区分，特别是在构造语义学背景下的挑战。郭华钰指出，尽管Dummett的观点将感知与程序的执行相关联，但Martin-Löf的理论在处理同义性和表达式的计算表现方面存在矛盾。郭华钰进一步讨论了Martin-Löf如何将功能表达式和类型引入其构造类型论，提出了该理论在处理相同感知和同一对象的表达方面的不足和不一致性。

第二会场由复旦大学的杨睿之副教授主持，两位报告人分别是南开大学的罗广龙老师和迈阿密大学的杨滋仁同学。

罗广龙的报告“Epistemology and Pluralism” 探讨了集合论哲学中的多元论，特别关注Hamkin的多元论版本。该报告分析了Hamkin的多元论如何以一种自觉的、柏拉图式的方式体现集合论的多元性。罗广龙指出，尽管Hamkin的多元论在集合论领域具有重要意义，但它未能提供对Benacerraf问题的令人满意的解决方案。

杨滋仁则带来了题为“The Adoption Problem, Logical Pluralism and Anti-Exceptionalism About Logic”的报告。探讨了逻辑多元主义与反例外主义中“接受问题”的复杂性。杨滋仁通过分析现有的理论和逻辑规则的自洽性，指出了尽管某些逻辑规则如Modus Ponens和Universal Instantiation在逻辑体系中占据基础地位，但这些规则的“不可采纳性”却带来了对逻辑多元主义的挑战。他还强调，逻辑的基础性并不意味着逻辑规则在所有推理情境中都是普适的，呼吁对逻辑的本质特性进行更深入的探讨和理解。

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8月12日下午，2024年数学哲学国际学术研讨会继续进行，迎来了第二场分主题报告。本场报告同样分为两个会场，学者们围绕直谓主义、集合实在论、连续统假设、图示表征、元数学、抽象原则等主题，展开了深入的学术探讨。

第一会场由山西大学的康仕慧教授主持，三位报告人分别是北京大学的刘力恺同学、复旦大学的鞠大恒同学和周佳楠同学。

刘力恺的报告题为“论绝对的和相对的直谓主义”。他探讨了直谓主义的起源、发展以及标准直谓主义的概念，并详细分析了绝对直谓主义与相对直谓主义之间的区别。报告中，他提出了通过接受迭代归纳定义来拓展直谓主义的观点，认为这是将自然数总体纳入直谓主义的最自然方式。通过分析历史和哲学背景，他为王浩拓展直谓主义的思想辩护，揭示了绝对性和相对性直谓主义在现代数学哲学中的重要意义。

接下来，鞠大恒带来了题为“集合实在论与基础公理”的报告。他分析了ZFC集合论中的基础公理与集合实在论的关系，提出集合实在论者应当拒绝基础公理。他从集合宇宙的极大性与集合的迭代概念观等角度，论证了基础公理违背了集合宇宙的极大性，并指出迭代概念观无法成功为基础公理提供支持。鞠大恒进一步探讨了数学基础的不同候选，特别是芬斯勒的反基础公理观点，认为集合实在论者应当拒绝基础公理，但这并不意味着放弃对ZFC的研究。

周佳楠则在报告“重新思考连续统假设：Lawvere的“可变集合”洞见”中，探讨了连续统假设的哲学意义。他介绍了Lawvere关于“可变集合”的理论，并通过classifying topos的视角，深入解析了Lawvere对“动态与静态”的直观理解。周佳楠指出，Lawvere认为集合论的宇宙应当包括映射、定义域等概念，并讨论了如何通过Grothendieck topos和初等topos来形式化“可变集合”。他进一步探讨了集合范畴的静态和动态性质如何影响逻辑特性，并分析了在不同集合论宇宙下连续统假设的真伪性。

第二会场由山西大学的郭建萍教授主持，报告人依次为清华大学的浙江大学余欢老师、于宝山同学和复旦大学的邬舒雯同学。

余欢的报告“Diagrammatic Representation and Multiple-Analysis in Begriffsschrift” 探讨了弗雷格概念文字系统中多重分析的可能性，并将其与图示表征的概念相结合。余欢分析了多重分析如何作为弗雷格逻辑主义的重要组成部分，尽管其与弗雷格的“镜像原则”和“组合原则”存在冲突。他提出，皮尔士符号学的图示表达观念可能为理解弗雷格的概念文字提供新视角，有助于解决这些冲突。

于宝山在报告“希尔伯特元数学中直观内容的认识论问题与康德式解读” 中，通过康德哲学的视角，探讨了希尔伯特元数学中符号构型的直观理论及其在数学认识论中的作用。他分析了这种直观理论如何在有穷主义证明中引发指称与归纳难题，进一步讨论了帕森斯类型论在解释数学直观方面的局限性。

最后，邬舒雯在报告“抽象原则和可依赖关系”中，分析了弗雷格提出的休谟原则和基本法则五在数学哲学中的地位，特别是它们如何引发罗素悖论的问题。她探讨了新弗雷格主义者对这些悖论的回应，并关注莱特格布通过形式化真理论引入语义依赖关系，试图为抽象原则提供新的辩护路径。她认为，这种语义依赖关系可能为新弗雷格主义提供新的研究方向。

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8月12日下午的第一场大会报告由中山大学的王轶教授主持，主讲人为印度中央理工学院的R. Ramanujam教授。报告主题是“Some questions for philosophy from interactive computation”。

R. Ramanujam深入探讨了互动计算对哲学提出的一系列重要问题。Ramanujam指出，传统的复杂性理论主要关注“原则上”解决方案的限制，基于将计算机视为问题求解器的观点。然而，过去40到50年间，计算机科学提出了另一种视角——将计算机视为沟通工具，聚焦于分布式与互动计算的出现。

这种新的计算视角引发了多项哲学上的根本问题，包括内在复杂性、随机性、时间与知识的本质，尤其是沟通模式的本质。这些问题在当今数字化和网络化的世界中尤为重要，促使哲学家重新思考计算机科学的基础与应用之间的关系。

8月12日下午的第二场大会报告同样由中山大学的王轶教授主持，主讲人为伦敦大学皇家霍洛威学院的罗朝晖教授。报告主题是“Type Theories as Foundational Languages”。

罗朝晖介绍了现代类型论，特别是Martin-Löf及其后继者的研究成果，探讨了类型论作为数学和计算机科学基础语言的潜力。他指出，通常情况下，类型论需要在某些方面进行扩展，以适应特定领域的基础需求。例如，在类型论语义学中，适当的子类型机制是必需的;而在数学的一价基础中，一价公理和高阶归纳类型的研究也不可或缺，这些都在Voevodsky提出的同伦类型论中得到了形式化。

罗朝晖通过简明的讲解，展示了这些类型论的复杂性及其在数学基础中的关键角色。他还提及了一些正在进行中的研究，指出类型论在未来数学与计算机科学研究中的重要应用前景。

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在8月13日上午举行的数学哲学国际研讨会大会报告中，来自卡内基梅隆大学的主讲人Jeremy Avigad教授围绕“Mathematical Understanding”这一主题，深入探讨了数学理解在数学哲学中的重要性。本场报告由来自浙江大学的Bruno Bentzen老师主持。

Avigad指出，分析传统中的数学哲学通常集中在对数学知识的辩护上，试图确定数学知识的基础和正确的推理方法。从这种角度来看，数学知识似乎只是定义、定理和证明的累积。然而，Avigad提出，除了这些内容之外，还有一些重要的认知资源无法用传统的数学知识理论来解释，但同样值得哲学的关注。

Avigad在报告中倡导发展一种关于数学理解的理论，以区别于传统的数学知识理论。他强调，这种理解理论应当提供对这些认知资源的总体性解释，并帮助我们更好地理解数学实践中的直觉、方法和目标。他还详细阐述了一些推动这种理论发展的动机和目标，并提出了一些初步的建议，探讨了如何在哲学层面上展开对数学理解的研究。

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8月13日上午，2024年数学哲学国际学术研讨会接着进入了第三场分主题报告的阶段。本场报告继续分为两个会场，分别由中山大学的沈榆平副教授和山西大学的徐超副教授主持。各位报告人围绕构造性数学、直觉主义逻辑、紧缩主义方法论、数学柏拉图主义、感性几何学以及逻辑教育等主题，进行了深度的探讨与交流。

第一会场三位报告人吉林大学的康孝军副教授、中国人民大学的曲思全同学和华南师范大学的高贝贝老师依次发表了各自的研究成果。

康孝军的报告“Constructive Mathematics and Reverse Mathematics” 探讨了构造性数学和反推数学的关系，特别是如何将反推数学的框架应用于构造性数学。报告详细讲述了构造性数学的基础及其历史背景，特别是直觉主义逻辑的发展。通过引入反推数学的理论，报告探讨了如何在构造性数学中实现反推数学的原则，并分析了不同数学系统的特点和应用，为理解构造性反推数学提供了新的视角和方法论。

曲思全的报告“直觉主义命题逻辑几种不同语义的比较” 则对直觉主义命题逻辑(IPC)的多种语义解释进行了比较，重点分析了Kripke语义、Beth语义、拓扑语义和代数语义等模型。报告展示了这些语义如何体现直觉主义的构造主义原则，并比较了它们在拒斥排中律和双重否定律上的表现。通过对不同语义的优劣和适用性的分析，报告揭示了每种语义的特色及其对直觉主义的不同反映。

最后，高贝贝的报告“T-模式紧缩主义方法论：基于紧缩主义真理论的建构” 介绍了基于T-模式的紧缩主义真理论，探讨了如何通过T-模式构建更紧凑的数学逻辑体系。报告分析了T-模式的基本构架，并讨论了去引号模式和等值模式在紧缩主义中的应用。通过这些方法，报告展示了如何利用紧缩主义真理论来处理“真”的定义，并提出了T-模式紧缩主义方法论作为一种分析语言与世界关系的新工具，为真理论研究提供了新的视角和方法。

第二会场中，山西大学的梁德柱同学、北京师范大学的周星哲老师和迈阿密大学的陈禹锟同学三位报告人分别就数学柏拉图主义、感性几何学和逻辑教育问题进行了报告。

梁德柱的报告“基于Nous概念的数学柏拉图主义解释” 探讨了数学柏拉图主义的哲学基础。梁德柱通过Nous概念，提出了一种新的数学柏拉图主义解释框架，强调数学对象的独立存在性及其与人类理性之间的关系。他解释了古希腊哲学中Nous的复杂含义，并将其与现代数学和哲学中的直观和直觉进行比较，指出了传统哲学如何通过Nous概念回应数学对象的存在问题。

周星哲的报告“感性几何学何以必要与可能”则探讨了感性几何学的哲学问题。他研究了感性几何学在数学知识中的地位，以及它如何在逻辑上成为可能。报告回顾了法国哲学家让·尼科的贡献，尼科通过区分理性几何学和感性几何学，为理解几何学如何适用于感性世界提供了新视角。报告指出感性几何学在连接抽象几何学与物理现实之间的重要作用，并提出了关于其必要性和可能性的论证。

陈禹锟的报告“When logic is taught, what is learned?” 探讨了逻辑教学中的效果与挑战。他分析了“教练训练”方法在解决逻辑接受问题上的应用，指出该方法在实现有效逻辑采纳上存在的关键问题。报告指出，尽管这一方法为逻辑采纳提供了理论框架，但仍然存在需要进一步改进的方面，尤其是如何验证逻辑原则的真正采纳。

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在8月13日下午举行的数学哲学国际研讨会的最后一场大会报告中，来自山西大学的主讲人周北海教授围绕“自然数是什么?—— 一个认知主义的解释”这一主题展开了深入探讨。本场报告由来自北京大学的邢滔滔教授主持。

周北海的报告从数学哲学的根本问题——“数是什么?”出发，提出了一个全新的认知主义解释。数学对象，尤其是数，作为看不见摸不着的抽象概念，长期以来在哲学领域引发了各种主义和观点的争论。周北海指出，尽管19世纪的算术化运动试图通过将实数归结为有理数，再归结为自然数来解答这一问题，但关于自然数的本质问题仍然没有得到彻底的解决。

在这场报告中，周北海提出，自然数本质上是认知主体通过认知能力形成的认知结构，是一种“心中之尺”。这种认知主义解释尝试从认知角度对自然数进行重新定义，并通过这种新的视角来分析和评价当前各种数学哲学流派的得失。周北海强调可以从认知科学的角度来重新审视数学对象的本质。这一认知主义的解释不仅有助于解决长期困扰数学哲学家的自然数定义问题，还为进一步理解数学概念的形成和演化提供了新的理论框架。

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在会议最后的圆桌讨论环节中，与会专家在大会报告和分主题报告的基础上，进一步探讨了数学哲学中的关键议题。讨论内容包括集合论与类型论作为数学基础的优缺点、数学柏拉图主义与自然主义、物理主义之间的争论、以及自然数定义的认知主义理解等。专家们还讨论了逻辑教学的哲学基础、数学真理论紧缩主义方法论的应用、集合实在论与基础公理的关系、构造性数学与反推数学的关联，以及知识论与多元论的融合等问题。此次圆桌讨论不仅深化了对数学哲学重要问题的理解，还促进了不同研究方向之间的交流与整合。

闭幕式由北京大学邢滔滔教授主持，山西大学周北海教授和复旦大学杨睿之副教授先后致辞。周北海教授总结了会议的主要成果，强调了会议对推动数学哲学研究的重要作用。杨睿之副教授对会议的圆满成功表示祝贺，并感谢了所有参与者的积极贡献。

此次会议不仅为数学哲学领域的研究提供了新的视角和思路，也进一步促进了国内外学术界的交流与合作，对提升红足1—世足球网的国际影响力起到了积极推动作用。